Tutorial on Rational Rotation C*-Algebras

Abstract

The rotation algebra A is the universal C -algebra generated by unitary operators U; V satisfying the commutation relation UV = !V U where ! = e2 i : They are rational if = p=q with 1 6 p 6 q1; othewise irrational. Operators in these algebras relate to the quantum Hall effect [2,26,30], kicked quantum systems [22,34], and the spectacular solution of the Ten Martini problem [1]. Brabanter [4] and Yin [38] classified rational rotation C -algebras up to -isomorphism. Stacey [31] constructed their automorphism groups. They used methods known to experts: cocycles, crossed products, Dixmier- Douady classes, ergodic actions, K–theory, and Morita equivalence. This expository paper defines Ap=q as a C -algebra generated by two operators on a Hilbert space and uses linear algebra, Fourier series and the Gelfand–Naimark–Segal construction [16] to prove its universality. It then represents it as the algebra of sections of a matrix algebra bundle over a torus to compute its isomorphism class. The remarks section relates these concepts to general operator algebra theory. We write for mathematicians who are not C -algebra experts

Алгебра вращений A — это универсальная C*-алгебра, порожденная унитарными операторами U; V , удовлетворяющими коммутационному соотношению UV = !V U, где ! = e2 i : Они рациональны, если = p=q с 1 6 p 6 q ���� 1; в противном случае иррациональны. Операторы в этих алгебрах связаны с квантовым эффектом Холла [2, 26, 30], квантовыми системами [22, 34] и эффектным решением проблемы Тена Мартини [1]. Брабантер [4] и Инь [38] классифицировали C*-алгебры рационального вращения с точностью до -изоморфизма. Стейси [31] построила свои группы автоморфизмов. Они использовали известные специалистам методы: коциклы, скрещенные произведения, классы Диксмье-Дуади, эргодические действия, К-теорию и эквивалентность Мориты. Эта пояснительная статья определяет Ap=q как C*-алгебру, порожденную двумя опера- торами в гильбертовом пространстве, и использует линейную алгебру, ряды Фурье и конструкцию Гельфанда–Наймарка–Сигала [16] для доказательства его универсальности. Затем он представляет его как алгебру сечений расслоения матричной алгебры над тором для вычисления его класса изоморфизма. Раздел примечаний связывает эти концепции с общей теорией операторной алгебры. Мы пишем для математиков, не являющихся экспертами в C*-алгебре