Convolutional Integro-Differential Equations in Banach Spaces With a Noetherian Operator in the Main Part

Abstract

An initial-value problem for an integro-differential equation of convolution type with a finite index operator for the higher order derivative in Banach spaces is considered. The equations under consideration model the evolution of the processes with "memory" when the current state of the system is influenced not only by the entire history of observations but also by the factors that have formed it and that remain relevant to the current moment of observation. Solutions are constructed in the class of generalized functions with a left bounded support with the use of the theory of fundamental operator functions of degenerate integro-differential operators in Banach spaces. A fundamental operator function that corresponds to the equation under consideration is constructed. Using this function the generalized solution is restored. The relationship between the generalized solution and the classical solution of the original initial-value problem is studied. Two examples of initial-boundary value problems for the integro-differential equations with partial derivatives are considered

В работе исследуется задача Коши для интегро-дифференциального уравнения сверточного типа с оператором конечного индекса при старшей производной в банаховых пространствах. Рассматриваемые уравнения моделируют эволюцию процессов с "памятью", когда на текущее состояние системы влияет не только вся история наблюдений, но и формировавшие ее факторы, остающиеся актуальными на текущий момент наблюдений. Решения строятся в классе обобщенных функций с ограниченным слева носителем методами теории фундаментальных оператор функций вырожденных интегро-дифференциальных операторов в банаховых пространствах. Построена фундаментальная оператор-функция, соответствующая рассматриваемому уравнению, с помощью которой восстановлено обобщенное решение, исследована связь между обобщенным и классическим решениями исходной задачи Коши. Абстрактные результаты проиллюстрированы на примерах начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений в частных производных прикладного характера