E-closed Sets of Hyperfunctions on Two-Element Set

Abstract

Hyperfunctions are functions that are defined on a finite set and return all non-empty subsets of the considered set as their values. This paper deals with the classification of hyperfunctions on a two-element set. We consider the composition and the closure operator with the equality predicate branching (E-operator). E-closed sets of hyperfunctions are sets that are obtained using the operations of adding dummy variables, identifying variables, composition, and E-operator. It is shown that the considered classification leads to a finite set of closed classes. The paper presents all 78 E-closed classes of hyperfunctions, among which there are 28 pairs of dual classes and 22 self-dual classes. The inclusion diagram of the E-closed classes is constructed, and for each class, its generating system is obtained

Гиперфункции представляют собой функции, задаваемые на конечном множестве и возвращающие в качестве своих значений все непустые подмножества рассматриваемого множества. В работе изложена классификация гиперфункций, заданных на двухэлементном множестве, относительно оператора E-замыкания. E-замкнутыми множествами гиперфункций являются множества, замкнутые относительно суперпозиции, оператора замыкания с разветвлением по предикату равенства, отождествления переменных и добавления фиктивных переменных. Показано, что рассматриваемая классификация приводит к конечному множеству замкнутых классов. В работе описаны все 78 E-замкнутых классов гиперфункций, среди которых есть 28 пар двойственных классов и 22 самодвойственных класса. Построена диаграмма включений классов, и для каждого класса указана его порождающая система