On the Construction of Solutions to a Problem with a Free Boundary for the Non-linear Heat Equation

Abstract

The construction of solutions to the problem with a free boundary for the non-linear heat equation which have the heat wave type is considered in the paper. The feature of such solutions is that the degeneration occurs on the front of the heat wave which separates the domain of positive values of the unknown function and the cold (zero) background. A numerical algorithm based on the boundary element method is proposed. Since it is difficult to prove the convergence of the algorithm due to the non-linearity of the problem and the presence of degeneracy the comparison with exact solutions is used to verify numerical results. The construction of exact solutions is reduced to integrating the Cauchy problem for ODE. A qualitative analysis of the exact solutions is carried out. Several computational experiments were performed to verify the proposed method

В статье обсуждается построение решений задачи со свободной границей для нелинейного уравнения теплопроводности, которые имеют тип тепловой волны. Особенностью таких решений является то, что уравнение имеет вырождение на фронте тепловой волны, который разделяет область положительных значений искомой функции и холодный (нулевой) фон. Предложен численный алгоритм решения указанной проблемы на основе метода граничных элементов. Поскольку доказать сходимость алгоритма не удается из-за нелинейности задач и наличия вырождения, в качестве метода верификации расчетов выбрано сравнение с точными решениями, построение которых сводится к интегрированию задачи Коши для ОДУ. Проведено качественное исследование последних. Выполнены иллюстрирующие расчеты, на основании которых с использованием результатов качественного анализа сделаны содержательные выводы