Problems of Bounding the p-Length and Fitting Height of Finite Soluble Groups

Abstract

This paper is a survey of some open problems and recent results about bounding the Fitting height and p-length of finite soluble groups. In many problems of finite group theory, nowadays the classification greatly facilitates reduction to soluble groups. Bounding their Fitting height or p-length can be regarded as further reduction to nilpotent groups. This is usually achieved by methods of representation theory, such as Clifford’s theorem or theorems of Hall–Higman type. In some problems, it is the case of nilpotent groups where open questions remain, in spite of great successes achieved, in particular, by using Lie ring methods. But there are also important questions that still require reduction to nilpotent groups; the present survey is focused on reduction problems of this type. As examples, we discuss finite groups with fixed-point-free and almost fixed-point-free automorphisms, as well as generalizations of the Restricted Burnside Problem. We also discuss results on coset identities, which have applications in the study of profinite groups. Finally, we mention the open problem of bounding the Fitting height in the study of the analogue of the Restricted Burnside Problem for Moufang loops

Данная статья является обзором некоторых открытых проблем и недавних результатов об ограничении высоты Фиттинга и p-длины конечных разрешимых групп. Во многих задачах теории конечных групп в настоящее время классификация в большой степени облегчает сведение к разрешимым группам. Ограничение их высоты Фиттинга или p-длины можно рассматривать как дальнейшее сведение к нильпотентным группам. Это обычно достигается методами теории представлений, такими как теорема Клиффорда или теоремы типа Холла–Хигмэна. В некоторых задачах открытые вопросы остаются именно в случае нильпотентных групп, несмотря на значительные успехи, достигнутые, в частности, с помощью методов колец Ли. Но имеются также важные вопросы, которые всё ещё требуют сведения к нильпотентным группам; настоящий обзор нацелен на задачи сведения этого типа. В качестве примеров обсуждаются конечные группы с автоморфизмами без неподвижных точек и почти без неподвижных точек, а также обобщения ослабленной проблемы Бернсайда. Также обсуждаются результаты о тождествах смежных классов, которые применяются в изучении проконечных групп. Наконец, упоминается открытая проблема ограничения высоты Фиттинга в изучении аналога ослабленной проблемы Бернсайда для луп Муфанг