Численное решение обратной задачи для уравнения четвертого порядка

Abstract

С каждым годом появляются все более совершенные и быстродействующие электронно-вычислительные машины (ЭВМ). В связи с этим решение крупных научно-технических проблем, примерами которых могут служить проблемы овладения ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным лишь благодаря применению математического моделирования и новых численных методов, предназначенных для ЭВМ. Значительное число задач физики и техники приводит к линейным и нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных. Эффективным методом решения задач математической физики является метод конечных разностей или метод сеток. Он позволяет сводить приближенное решение уравнений в частных производных к решению систем линейных алгебраических уравнений. Одной из актуальных проблем современной математики является постановка и решение обратных задач. Обратные задачи – это тип задач, когда значения ряда параметров модели неизвестны. В целом под обратными задачами понимаются задачи, решение которых проводится в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта или процесса и заключается в определении параметров данной модели по имеющимся результатам наблюдений и другой экспериментальной информации. Первые публикации по обратным и некорректным задачам появились в первой половине XX века. Они были связаны с исследованиями физиков (обратные задачи квантовой теории рассеяния, электродинамики, акустики), геофизиков (обратные задачи электроразведки, сейсмики, теории потенциала), астрономии и других областей естествознания. Прямая задача состоит в определении, каким станет состояние объекта в какой-то момент времени, исходя из имеющихся в начальный момент времени исходных данных, начальных и граничных условий, известных закономерностей его поведения. Прямая задача есть по сути определение причино-следственной зависимости в поведении изучаемого объекта. В данной работе рассматриваются прямая и обратная задачи для дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка с правой частью специального вида и задача идентификации коэффициента в младшем члене дифференциального уравнения четвертого порядка. Для последней задачи разработан алгоритм специального метода исключения. Задачи решаются методами: Гаусса с выбором главного элемента, QR-методом и разработанным методом конкретно для поставленной задачи. Эти методы апробированы на ряде тестов, в которых были получены численные расчеты. На основании полученных расчетов было выдвинуто предположение о том, что численное решение сходится к точному при уменьшении шагов сетки.