The Study of Discrete Probabilistic Distributions of Random Sets of Events Using Associative Function

Abstract

In this work the class of discrete probabilistic distributions of the II-nd type of random sets of event is investigated. As the tool for constructing of such probabilistic distributions it is offered to use associative functions. There is stated a new approach to define a discrete probabilistic distribution of the II-nd type of a random set on a finite set of N events on the basis of obtained recurrence relation and a given associative function. Advantage of the offered approach is that for definition of probabilistic distribution instead of a totality of 2N probabilities it is enough to know N probabilities of events and a type of associative function. In this paper an |X|-ary covariance of a random set of events is considered. It is a measure of the additive deviation of the events from the independent situation. The process of recurrent constructing a probabilistic distribution II-nd type is demonstrated by the example of three associative functions. The proof of the legitimacy / illegitimacy the obtained distribution by passing to the probabilistic distribution of the I-st type by formulas of M¨obius is given. Theorems that establish the form and conditions of the legitimacy of the resulting probabilistic distributions are proved. |X|-ary covariances of random sets of events are found

В статье исследуется класс дискретных вероятностных распределений II-рода случайных мно- жеств событий. В качестве инструмента построения таких распределений предлагается ис- пользовать ассоциативные функции. Излагается новый подход к определению дискретного веро- ятностного распределения II-рода случайного множества на конечном множестве из N событий на основе полученного рекуррентного соотношения и заданной ассоциативной функции. Преиму- щество предлагаемого подхода заключается в том, что для определения вероятностного распре- деления вместо полного набора 2N вероятностей достаточно знать N вероятностей событий и вид ассоциативной функции. Рассмотрена |X|-арная ковариация случайного множества собы- тий как мера аддитивного отклонения событий от независимой ситуации. На примере трех ассоциативных функций продемонстрирован процесс рекуррентного построения вероятностного распределения II-рода и приведено доказательство легитимности / нелегитимности получен- ного распределения с помощью перехода к вероятностному распределению I-рода по формулам М¨ебиуса. Доказаны теоремы, устанавливающие вид и условия легитимности результирующих вероятностных распределений; найдены |X|-арные ковариации случайных множеств событий