On Spectra and Minimal Polynomials in Finite Semifields

Abstract

We apply the notion of a one-side-ordered minimal polynomial to investigations in finite semifields. A proper finite semifield has non-associative multiplication, that leads to the anomalous properties of its left and right spectra. We obtain the sufficient condition when the right (left) order of a semifield element is a divisor of the multiplicative loop order. The interrelation between the min- imal polynomial of non-zero element and its right (left) order is described using the spread set. This relationship fully explains the most interesting and anomalous examples of small-order semifields

Для исследования конечных полуполей применяется понятие одностороннеупорядоченного минимального многочлена. Отсутствие ассоциативности умножения в собственном полуполе приводит к аномальным свойствам его левого и правого спектра. Получено достаточное условие делимости порядка мультипликативной лупы на правый (левый) порядок элемента. С использованием регулярного множества полуполя описана связь минимального многочлена ненулевого элемента и его правого (левого) порядка. Эта взаимосвязь дает исчерпывающее объяснение наиболее интересным аномальным примерам полуполей малых порядков