Linear Autotopism Subgroups of Semifield Projective Planes

Abstract

We investigate the well-known hypothesis of D. R. Hughes that the full collineation group of non-Desarguesian semifield projective plane of a finite order is solvable (the question 11.76 in Kourovka notebook was written down by N. D. Podufalov). This hypothesis is reduced to autotopism group that consists of collineations fixing a triangle. We describe the elements of order 4 and dihedral or quaternion subgroups of order 8 in the linear autotopism group when the semifield plane is of rank 2 over its kernel. The main results can be used as technical for the further studies of the subgroups of even order in an autotopism group for a finite non-Desarguesian semifield plane. The results obtained are useful to investigate the semifield planes with the autotopism subgroups from J. G. Thompson’s list of minimal simple groups

Изучается известная гипотеза Д. Хьюза 1959 г. о разрешимости полной группы коллинеаций недезарговой полуполевой проективной плоскости конечного порядка (также вопрос 11.76 Н. Д. Подуфалова в Коуровской тетради). Эта гипотеза редуцируется к группе автотопизмов, состоящей из коллинеаций, фиксирующих треугольник. В работе описаны элементы порядка 4 и диэдральные либо кватернионные подгруппы порядка 8 в группе линейных автотопизмов полуполевой плоскости ранга 2 над ядром. Основные доказанные результаты являются техническими и необходимы для дальнейшего изучения подгрупп четного порядка в группе автотопизмов конечной недезарговой полуполевой плоскости. Результаты могут быть использованы для изучения полуполевых плоскостей, допускающих подгруппы автотопизмов из списка Д. Г. Томпсона минимальных простых групп