Problem of Determining a Multidimensional Kernel in One Parabolic Integro–differential Equation

Abstract

The multidimensional parabolic integro-differential equation with the time-convolution in- tegral on the right side is considered. The direct problem is represented by the Cauchy problem for this equation. In this paper it is studied the inverse problem consisting in finding of a time and spatial dependent kernel of the integrated member on known in a hyperplane xn = 0 for t > 0 to the solution of direct problem. With use of the resolvent of kernel this problem is reduced to the investigation of more convenient inverse problem. The last problem is replaced with the equivalent system of the integral equations with respect to unknown functions and on the bases of contractive mapping principle it is proved the unique solvability to the direct and inverse problems

Рассматривается многомерное параболическое интегро-дифференциальное уравнение с интегралом временной свертки в правой части. Прямая задача представлена задачей Коши для этого уравнения. В данной статье исследуется обратная задача, заключающаяся в нахождении зависимого от времени и пространства ядра интегрируемого члена на известном в гиперплоскости xn = 0 for t > 0 решению прямой задачи. С использованием резольвенты ядра эта задача сводится к исследованию более удобной обратной задачи. Последняя задача заменена эквивалентной системой интегральных уравнений относительно неизвестных функций, на основе принципа сжимающего отображения доказана однозначная разрешимость прямой и обратной задач