On Limit Theorem for the Number of Vertices of the Convex Hulls in a Unit Disk
View/ Open:
URI (for links/citations):
https://elib.sfu-kras.ru/handle/2311/135199Author:
Khamdamov, Isakjan M.
Хамдамов, Исакжан М.
Date:
2020-05Journal Name:
Журнал Сибирского федерального университета.Математика и физика.Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, 2020 13 (3)Abstract:
This paper is devoted to further investigation of the property of a number of vertices of
convex hulls generated by independent observations of a two-dimensional random vector with regular
distributions near the boundary of support when it is a unit disk. Following P. Groeneboom [4], the
Binomial point process is approximated by the Poisson point process near the boundary of support and
vertex processes of convex hulls are constructed. The properties of strong mixing and martingality of
vertex processes are investigated. Using these properties, asymptotic expressions are obtained for the
expectations and variance of the vertex processes that correspond to the results previously obtained
by H. Carnal [2]. Further, using the properties of strong mixing of vertex processes, the central limit
theorem for a number of vertices of a convex hull is proved Данная статья посвящена дальнейшему исследованию свойства ряда вершин выпуклых оболочек, порожденных независимыми наблюдениями двумерного случайного вектора с
регулярными распределениями вблизи границы носителя, когда он является единичным диском.
Следуя П. Гренебуму [4], биномиальный точечный процесс аппроксимируем пуассоновским точечным процессом вблизи границы опоры и строим вершинные процессы выпуклых оболочек. Исследованы свойства сильного перемешивания и мартингальности вершинных процессов. Используя
эти свойства, получаем асимптотические выражения для ожиданий и дисперсии вершинных процессов, которые соответствуют результатам, ранее полученным H. Карнала [2]. Далее, используя
свойства сильного перемешивания вершинных процессов, доказываем центральную предельную
теорему для ряда вершин выпуклой оболочки