CONSTRUCTION OF CARLEMAN FORMULAS BY USING MIXED PROBLEMS WITH PARAMETER-DEPENDENT BOUNDARY CONDITIONS

Abstract

Let D be an open connected subset of the complex plane C with sufficiently smooth boundary ∂D. Perturbing the Cauchy problem for the Cauchy–Riemann system ¯∂u = f in D with boundary data on a closed subset S ⊂ ∂D, we obtain a family of mixed problems of the Zaremba-type for the Laplace equation depending on a small parameter ε ∈ (0, 1] in the boundary condition. Despite the fact that the mixed problems include noncoercive boundary conditions on ∂D\S, each of them has a unique solution in some appropriate Hilbert space H+(D) densely embedded in the Lebesgue space L2(∂D) and the Sobolev–Slobodetski˘ı space H1/2−δ(D) for every δ > 0. The corresponding family of the solutions {uε} converges to a solution to the Cauchy problem in H+(D) (if the latter exists). Moreover, the existence of a solution to the Cauchy problem in H+(D) is equivalent to boundedness of the family {uε} in this space. Thus, we propose solvability conditions for the Cauchy problem and an effective method of constructing a solution in the form of Carleman-type formulas.

Пусть $D$ -- открытое связное множество с достаточно гладкой границей $\partial D$ на комплексной плоскости ${\mathbb C}$. Возмущая задачу Коши для системы Коши-Римана $\overline \partial u = f$ в $D$ с граничными данными на замкнутом множестве $S \subset \partial D$, мы получаем семейство смешанных задач типа Зарембы для уравнения Лапласа, зависящее от малого параметра $\varepsilon \in (0,1]$ в граничном условии. Несмотря на то, что смешанные задачи содержат некоэрцитивные граничные условия на $\partial D \setminus S$, каждая из них имеет единственное решение в подходящем гильбертовом пространстве $H^+ (D)$, непрерывно вложенном в пространство Лебега $L^2 (\partial D)$ и пространство Соболева-Слободецкого $H^{1/2-\delta} (D)$ при любом $\delta>0$. Соответствующее семейство решений $\{ u_{\varepsilon}\}$ сходится в $H^+ (D)$ к решению задачи Коши (если оно существует). Также мы доказываем, что существование решения задачи Коши в $H^+ (D)$ эквивалентно ограниченности семейства $\{ u_{\varepsilon} \}$ в этом пространстве. Таким образом, мы получили условия разрешимости для задачи Коши и эффективный метод построения ее решения в виде формул карлемановского типа.