Physically Nonlinear Deformation of the Shell Using a Three-field FEM

Abstract

A method has been developed for implementing an algorithm for determining the stress- strain state (SSS) of a thin shell based on the finite element method (FEM) in a three-field formulation under step loading. A quadrangular fragment of the median surface of the thin shell is accepted as the finite element. Nodal unknowns at the loading step used: increments of kinematic quantities (in- crements of displacements and their derivatives); increments of deformation quantities (increments of deformations and curvatures of the median surface); increments of force values (increments of forces and moments). The approximation of kinematic quantities was carried out using bicubic shape functions based on Hermite polynomials of the third degree, and force and deformation quantities using bilinear functions. To account for the physical nonlinearity of the shell material, the defining equations are used in two versions: the first is the defining equations of the theory of plastic flow and the second is the defining equations based on the proposed hypothesis of proportionality a component of deviators of strain increments and stress increments. The stiffness matrix of the finite element is formed on the basis of a nonlinear Lagrange functional for the loading step, expressing the equality of possible and actual work of given loads and internal forces, with the complementary condition that the actual work of the increments of internal forces is equal to zero on the difference in increments of deformation quantities determined by geometric relations and using approximating expressions. An example of calculation is given using the resulting finite element stiffness matrix

Разработана методика реализации при шаговом нагружении алгоритма определения напряженно-деформированного состояния (НДС) тонкой оболочки на основе метода конечных элементов (МКЭ) в трехпольной формулировке. В качестве конечного элемента принят четырехугольный фрагмент срединной поверхности тонкой оболочки. Узловыми неизвестными на шаге нагружения использованы: приращения кинематических величин (приращения перемещений и их производных); приращения деформационных величин (приращения деформаций и искривлений срединной поверхности); приращения силовых величин (приращения усилий и моментов). Аппроксимация кинематических величин осуществлялась с использованием бикубических функций формы на основе полиномов Эрмита третьей степени, а величин силовых и деформационных — с использованием билинейных функций. Для учета физической нелинейности материала оболочки использованы определяющие уравнения в двух вариантах: первый — определяющие уравнения теории пластического течения и второй — определяющие уравнения на основе предложенной гипотезы о пропорциональности компонент девиаторов приращений деформаций и приращений напряжений. Матрица жесткости конечного элемента сформирована на основе нелинейного функционала Лагранжа для шага нагружения, выражающего равенство возможных и действительных работ заданных нагрузок и внутренних усилий, с дополняющим условием равенства нулю действительной работы приращений внутренних усилий на разности приращений деформационных величин, определяемых геометрическими соотношениями и с использованием аппроксимирующих выражений. С использованием полученной матрицы жесткости конечного элемента дается пример расчета