Further Remarks on the Explicit Generating Function Expression of the Invariant Measure of Critical Galton-Watson Branching Systems

Abstract

Consider the critical Galton-Watson branching system with infinite variance of the offspring law. We provide an alternative arguments against what Slack [9] did when it seeked for a local expression in the neighborhood of point 1 of the generating function for invariant measures of the branching system. So, we obtain the global expression for all s ∈ [0, 1) of this generating function. A fundamentally improved version of the differential analogue of the basic Lemma of the theory of critical branching systems is established. This assertion plays a key role in the formulation of the local limit theorem with explicit terms in the asymptotic expansion of local probabilities. We also determine the decay rate of the remainder term in this expansion

Рассмотрим критическую ветвящуюся систему Гальтона-Ватсона с бесконечной дис- персией закона превращения одной частицы. Предлагаем аргументы, альтернативные аргументам Слейка [9], который нашел локальное выражение в окрестности точки 1 производящей функции для инвариантных мер ветвящейся системы. Мы получаем глобальное выражение для всех s ∈ [0, 1) этой производящей функции. Устанавливаем улучшенный вариант дифференциального аналога основной леммы теории критических ветвящихся систем. Это утверждение играет ключевую роль в формулировке локальной предельной теоремы с явными членами в асимптотическом разложении локальных вероятностей. Мы также определяем скорость убывания остаточного члена в этом разложении