Idempotent Values of Commutators Involving Generalized Derivations

Abstract

n the present article, we characterize generalized derivations and left multipliers of prime rings involving commutators with idempotent values. Precisely, we prove that if a prime ring of charac- teristic different from 2 admits a generalized derivation G with an associative nonzero derivation g of R such that [G(u); u]n = [G(u); u] for all u 2 f[x; y] : x; y 2 Lg; where L a noncentral Lie ideal of R and n > 1 is a fixed integer, then one of the following holds: (i) R satisfies s4 and there exists 2 C; the extended centroid of R such that G(x) = ax + xa + x for all x 2 R; where a 2 U; the Utumi quotient ring of R; (ii) there exists 2 C such that G(x) = x for all x 2 R: As an application, we describe the structure of left multipliers of prime rings satisfying the condition ([Tm(u); u])n = [Tm(u); u] for all u 2 f[x; y] : x; y 2 Lg; where m; n > 1 are fixed integers. In the end, we give an example showing that the hypothesis of our main theorem is not redundant

В настоящей статье мы характеризуем обобщенные дифференцирования и левые мультипликаторы первичных колец, включающие коммутаторы с идемпотентными значениями. А именно, мы доказываем, что если первичное кольцо характеристики, отличной от 2, допускает обобщенное дифференцирование G с ассоциативным ненулевым дифференцированием g кольца R такое, что [G(u); u]n = [G(u); u] для всех u 2 f[x; y] : x; y 2 Lg; где L — нецентральный идеал Ли R, а n > 1 — фиксированное целое число, то выполняется одно из следующих утверждений: (i) R удовлетворяет s4 и существует 2C, расширенный центр тяжести R, такой, что G(x) = ax + xa + x для всех x 2 R, где a 2 U, фактор-кольцо Утуми кольца R, (ii) существует 2 C, такое, что G(x) = x для всех x 2 R. В качестве приложения опишем строение левых мультипликаторов первичных колец, удовлетворяющих условию ([Tm(u); u])n = [Tm(u); u] for all u 2 f[x; y] : x; y 2 Lg; где m; n > 1 — фиксированные целые числа. В заключение приведем пример, показывающий, что условие нашей основной теоремы не является избыточным