Asymptotic Analysis of Retrial Queueing System M/M/1 with Impatient Customers, Collisions and Unreliable Server

Abstract

The retrial queueing system of M=M=1 type with Poisson flow of arrivals, impatient cus- tomers, collisions and unreliable service device is considered in the paper. The novelty of our contribution is the inclusion of breakdowns and repairs of the service into our previous study to make the problem more realistic and hence more complicated. Retrial time of customers in the orbit, service time, impa- tience time of customers in the orbit, server lifetime (depending on whether it is idle or busy) and server recovery time are supposed to be exponentially distributed. An asymptotic analysis method is used to find the stationary distribution of the number of customers in the orbit. The heavy load of the system and long time patience of customers in the orbit are proposed as asymptotic conditions. Theorem about the Gaussian form of the asymptotic probability distribution of the number of customers in the orbit is formulated and proved. Numerical examples are given to show the accuracy and the area of feasibility of the proposed method

В настоящей статье мы рассматриваем систему массового обслуживания с повторными вызовами (RQ-систему) типа M/М/1 с пуассоновским потоком поступающих в систему заявок и одним сервером, обслуживание которым имеет экспоненциальное распределение. Классическая модель RQ-системы усложнена наличием конфликтов заявок в системе, "нетерпеливых" заявок на орбите, а также "ненадежным" прибором, который выходит из строя и ремонтируется в функционирующей системе массового обслуживания. Время, через которое заявки с орбиты вновь обращаются к обслуживающему прибору; время, через которое заявки с орбиты покидают систему, время, в течение которого сервер находится в рабочем состоянии (в зависимости от того, занят прибор обслуживанием заявки или нет, а также время, в течение которого длится ремонт вышедшего из строя сервера, распределены экспоненциально. Мы используем метод асимптотического анализа для решения задачи нахождения распределения вероятностей числа заявок на орбите. В качестве асимптотического условия предлагается условие высокой загрузки системы и долгой "терпеливости" заявок на орбите. Формулируется и доказывается теорема об асимптотически гауссовском распределении вероятностей числа заявок на орбите. Приводятся численные результаты, демонстрирующие область применения полученных теоретических выводов