Determinants as Combinatorial Summation Formulas over an Algebra with a Unique n-ary Operation

Abstract

С конца 1980-х гг. автор опубликовал серию результатов по матричным функциям, полученным с помощью произво- дящих функций, смешанных дискриминантов (смешанных объёмов в Rn), и известной теоремы поляризации (ее форму-лировка в наибольшей общности приведена в журнале «Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика» в 2017 г.). Эта теорема позволяет получать для полиаддитивной и симметрической функции множество вычислительных формул (полиномиальных тождеств), содержащих семейство свободных переменных. В 1979–1980 гг. автор получил первое полиномиальное тождество для перманентов над коммутативным кольцом, а в 2013 г. полиномиальное тождество нового типа для детерминантов над некоммутативным кольцом с ассоциативными степенями. В заметке дано общее определение функции детерминанта, названного автором e-детерминантом над алгеброй с единственной n-арной f-операцией. Это определение отлично от хорошо известного определения некоммутативного детерминанта Гельфанда. Показано, что при естественных ограничениях на f-операцию e-детерминант сохраняет основные свойства классического детерминанта над полем R. Получено семейство полиномиальных тождеств для e-детерминантов. В заключении автор выражает уверенность, что представляет интерес получение подобных полиномиальных тождеств для функций Шура, смешанных дискриминантов, результантов и других матричных функций над различными алгебраическими системами. Особенно интересен, по его мнению, ответ на следующий вопрос: для каких n-арных f-операций возможно быстрое вычисление e-детерминантов с помощью квантовых компьютеров?