On Carleman-type Formulas for Solutions to the Heat Equation

Abstract

We apply the method of integral representations to study the ill-posed Cauchy problem for the heat equa- tion. More precisely we recover a function, satisfying the heat equation in a cylindrical domain, via its values and the values of its normal derivative on a given part of the lateral surface of the cylinder. We prove that the problem is ill-posed in the natural (anisotropic) spaces (Sobolev and H¨older spaces, etc). Finally, we obtain a uniqueness theorem for the problem and a criterion of its solvability and a Carleman-type formula for its solution

Мы применяем метод интегральных представлений к исследованию некорректной задачи Коши для уравнения теплопроводности. Более точно, используя подходящую формулу Грина, мы восстанавливаем комплекснозначную функцию, удовлетворяющую уравнению теплопроводности в цилиндре, по заданным ее значениям и значениям ее нормальной производной на части боковой поверхности цилиндра. Мы показываем, что задача является некорректной в естественных для нее (анизотропных) пространствах (Соболева, Гельдера и т.д.). В итоге нами получены теорема единственности для задачи Коши, а также необходимые и достаточные условия ее разрешимости и формула карлемановского типа для ее решения