The Fredholm Navier-Stokes Type Equations for the de Rham Complex over Weighted H¨older Spaces

Abstract

We consider a family of initial problems for the Navie–Stokes type equations generated by the de Rham complex in Rn [0; T], n > 2, with a positive time T over a scale weighted anisotropic H¨older spaces. As the weights control the order of zero at the infinity with respect to the space variables for vectors fields under the consideration, this actually leads to initial problems over a compact manifold with the singular conic point at the infinity. We prove that each problem from the family induces Fredholm open injective mappings on elements of the scales. At the step 1 of the complex we may apply the results to the classical Navier–Stokes equations for incompressible viscous fluid

Мы рассматриваем семейство задач Коши для уравнений типа Навье-Стокса, порожденных комплексом де Рама в Rn [0; T], n > 2, с положительным временем T над шкалой весовых анизотропных пространств Гёльдера. Поскольку веса определяют порядок нуля на бесконечности по пространственным переменным для рассматриваемых векторных полей, это фактически приводит к задачам Коши над компактным многообразием с конической особой точкой на бесконечности. Доказано, что каждая задача семейства индуцирует открытые инъективные отображения Фредгольма на элементах шкал. На шаге 1 комплекса можно применить результаты к классическим уравнениям Навье–Стокса для несжимаемой вязкой жидкости