A Short Calculation of the Multiple Sum of Krivokolesko-Leinartas with Linear Constraints on Summation Indices

Abstract

В конце 1970-х автором был разработан метод интегрального представления и вычисления комбинаторных сумм различного типа (метод коэффициентов) с использованием формальных степенных рядов Лорана над C, теории аналитических функций и теории кратных вычетов в Cn. С тех пор этот метод нашёл многочисленные применения в различных областях математики в нашей стране и за рубежом. На мой взгляд, особенно интересно и актуально использование метода коэффициентов при решении трудной проблемы вычисления кратных сумм с линейными ограничениями на индексы суммирования. Проблемы такого типа нередко возникают на практике при решении различных комбинаторных задач. Например, в 2016 году автором в «Известиях ИГУ» была вычислена кратная сумма с q-биномиальными кэффициентами и линейными рекуррентными соотношениями на индексы суммирования, возникшая при перечислении всех собственных t-мерных подпространств Vm над полем GF(q). В 2012 году В. П. Кривоколеско и Е. К. Лейнартас доказали в «Известия ИГУ» с использованием композиции Адамара кратное тождество с полиномиальными коэффициентами и ограничениями различного типа на пределы суммирования, содержащее семейство свободных параметров. Это тождество является обобщением тождеств, изученных ранее несколькими авторами, начиная с построения фильтров Добеши в вейвлет-теории. Здесь по стандартной схеме метода коэффициентов проведено, не зная ответа, короткое и простое вычисление кратной суммы Кривоколеско– Лейнартаса. Это вычисление также автоматически дает эквивалентный способ вычисления указанной суммы с помощью традиционного метода производящих функций, используя лишь хорошо известные операции над соответствующими кратными степенными рядами Лорана.