Полуполевые плоскости ранга 2, допускающие группу S3

Abstract

Одна из классических задач проективной геометрии — построение объекта по известным ограничениям на его автоморфизмы. Рассматриваются конечные проективные плоскости, координатизируемые полуполем, т. е. алгебраической системой, удовлетворяющей аксиомам тела, за исключением ассоциативности умножения. Такая плоскость является плоскостью трансляций и обладает также транзитивной группой элаций с аффинной осью. Пусть П — полуполевая плоскость порядка p^{2n} с ядром, содержащим GF(p^n) (p — простое число), группа линейных автотопизмов которой содержит подгруппу H, изоморфную симметрической группе S3. Для построения и исследования таких плоскостей применяется подход с использованием линейного пространства и регулярного множества — специального семейства линейных преобразований. Построено матричное представление подгруппы H и регулярного множества полуполевой плоскости для p=2 и p>2. Изучена возможность присутствия центральных коллинеаций в подгруппе H. Показано, что полуполевая плоскость порядка 3^{2n} с ядром GF(3^n) не допускает S3 в группе линейных автотопизмов. Найдены примеры полуполевых плоскостей порядков 16 и 625, допускающих S3. Полученные результаты могут быть обобщены на случай полуполевых плоскостей ранга более двух и могут быть использованы, в частности, при исследовании известной гипотезы о разрешимости полной группы коллинеаций конечной недезарговой полуполевой плоскости.