О периодических группах с регулярным автоморфизмом порядка четыре /On periodic groups with a regular automorphism of order 4

Abstract

Изучаются периодические группы вида G=F⋋⟨a⟩ с условиями CF(a)=1 и |a|=4. Отображение a:F→F по правилу t→ta=a−1ta есть автоморфизм группы F без неподвижных точек (регулярный автоморфизм). Конечная группа F разрешима, и ее коммутант нильпотентен (Д. Горенстейн и И. Херстейн, 1961). Локально конечная группа F разрешима, и ее второй коммутант содержится в центре Z(F) группы F(Л. Г. Ковач, 1961). Неизвестно, всегда ли локально конечна периодическая группа F (вопрос 12.100 П. В. Шумяцкого из “Коуровской тетради”). В работе доказаны следующие свойства групп. Для π=π(F)∖π(CF(a2)) группа F π′-замкнута, подгруппа Oπ′(F) абелева и содержится в Z([a2,F]) (теорема 1). Группа F, не имеющая бесконечных элементарных абелевых a2-допустимых подгрупп, локально конечна (теорема 2). В не локально конечной группе F есть не локально конечная a-допустимая подгруппа, факторизуемая двумя локально конечными a-допустимыми подгруппами (теорема 3). Для любого натурального числа n, кратного нечетному простому числу, указаны примеры не локально конечных периодических групп с регулярным автоморфизмом порядка n.