О рядах Гильберта-Пуанкаре ассоциативных алгебр, порожденных двумя нильэлементами / On Hilbert-Poincare series of associative nilalgebras generated by two nilelements

Abstract

В работе вычисляются коэффициенты ряда Гильберта - Пуанкаре HA(t)=∑∞k=0aktk градуированной ассоциативной алгебры A=⟨⟨x,y|xm,yn⟩⟩ с единицей (теоремы 1 и 2). Других соотношений на алгебру не накладывается. Задача заключается в комбинаторной проблеме нахождения компактных формул (и асимптотики) числа ассоциативных слов фиксированной длины в алфавите {x,y}, не содержащих подслов xm и yn. В работе с реккурентными соотношениями, производящими функциями и комбинаторными суммами используются как операции над степенными рядами (одного переменного), так и элементы теории вычетов комплексных переменных. Эти методы могут послужить дополнением к теореме Голода - Шафаревича, применение которой при d=2 и m,n≤9 невозможно. В связи с группами Алешина, Григорчука, Гупты, особое внимание в работе уделено малым значениям m,n≤4. Найдена асимптотика коэффициентов ak. Проведено сравнение коэффициентов ak с коэффицинтами ряда ∑∞k=0cktk, обратного к многочлену 1−2t+tm+tn. Указаны случаи отрицательных коэффициентов ck и неравенств ck>ak, что в теореме Голода - Шафаревича исключается ее условиями. Однако сложность полученных формул пока не позволяет находить дополнительные соотношения, достаточные для получения бесконечномерных нильалгебр.