О вычислении одного класса интегралов от рациональных функций с параметрами и особенностями на комплексных гиперплоскостях / On computing a class of integrals of rational functions with parameters and singularities on complex hyperplanes

Abstract

В статье приведен алгоритм вычисления интегралов вида Z| 1|=1 . . . Z| n|=1 f( ) m Q j=1 (aj,1z1 1 + . . . + aj,nzn n + cj)tj d 1 1 . . . d n n , где интегрирование происходит по остову единичного полицилиндра в Cn, функция f( ) голоморфна в его окрестности, а Qm j=1(aj,1z1 1 + . . . + aj,nzn n + cj) 6= 0 для точек z = (z1, . . . , zn) связного n- кругового множества G ⊂ Cn. Для точек остова | 1| = 1, . . . , | n| = 1 множество {Vj} = {(z1, . . . , zn) ∈ Cn : aj,1z1 1 + . . . + aj,nzn n + cj = 0} является n-круговым, и взаимное расположение n-круговых множеств в Cn удобно изучать с помощью проекции : Cn → Rn +, где (z1, . . . , zn) = (|z1|, . . . , |zn|). Связное множество ({Vj}) “разбивает” Rn + не более чем на n + 1 непустых непересекающихся частей, и (G) принадлежит одной из них. Получается, что число вариантов взаимного расположения в Cn мно- жеств G и {V1}, . . . , {Vm}, влияющих на ответ при вычислении данного интеграла, не превосходит (n+1)m. В теоремах 1 и 2 вычисляются два типа таких интегралов (два варианта). В работе приводится пример вычисления двойного интеграла с помощью его параметризации и применения одной из теорем. Ключевые слова: интегральное представление, n-круговое множество, комплексная гиперплоскость. V. P.Krivokolesko. On computing a class of integrals of rational functions with parameters and singularities on complex hyperplanes. We give an algorithm for computing the integral Z| 1|=1 . . . Z| n|=1 f( ) m Q j=1 (aj,1z1 1 + . . . + aj,nzn n + cj)tj · d 1 1 . . . d n n , where the integration set is the distinguished boundary of the unit polydisk in Cn, the function f( ) is holomorphic in a neighborhood of this set, andQm j=1(aj,1z1 1+. . .+aj,nzn n+cj) 6= 0 for points z = (z1, . . . , zn) of a connected n-circular set G ⊂ Cn. For points of the distinguished boundary, whose coordinates satisfy the relations | 1| = 1, . . ., | n| = 1, the sets {Vj} = {(z1, . . . , zn) ∈ Cn : aj,1z1 1 + . . . + aj,nzn n + cj = 0} are n-circular, and it is convenient to study their mutual arrangement in Cn by using the projection : Cn → Rn +, where (z1, . . . , zn) = (|z1|, . . . , |zn|). A connected set ({Vj}) divide Rn + at most n+1 disjoint nonempty parts, and (G) belongs to one of them. Therefore the number of variants of the mutual arrangement of the sets G and {V1}, . . . , {Vm} in Cn, which influences the value of the integral, does not exceed (n +1)m. In Theorems 1 and 2 we compute the integral for two of these variants. An example of computing a double integral by applying its parameterization and one of the theorem is given.