Об одной некорректной задаче для уравнения теплопроводности

Abstract

A boundary value problem for the heat equation is studied. It consists of recovering a function, satisfying the heat equation in a cylindrical domain, via its values ant the values of its normal derivative on a given part of the lateral surface of the cylinder. We prove that the problem is ill-posed in the natural spaces of smooth functions and in the corresponding Holder spaces; besides, additional initial data do not turn the problem to a well-posed one. Using Integral Representation's Method we obtain Uniqueness Theorem and solvability conditions for the problem.

В работе исследована одна краевая задача для уравнения теплопроводности. Она состоит в вос- становлении функции, удовлетворяющей уравнению теплопроводности в цилиндрической обла- сти, по заданным ее значениям и значениям ее нормальной производной на части боковой поверх- ности цилиндра. Доказано, что задача является некорректной в естественных для нее простран- ствах гладких функций и соответствующих пространствах Гельдера, а добавление к условиям начальных данных не превращает задачу в корректную. С помощью метода интегральных пред- ставлений получены теорема единственности, условия разрешимости и формулы для решения задачи.