Rigidity Conditions for the Boundaries of Submanifolds in a Riemannian Manifold

Abstract

Developing A.D. Aleksandrov’s ideas, the first author proposed the following approach to study of rigid- ity problems for the boundary of a C0-submanifold in a smooth Riemannian manifold. Let Y1 be a two-dimensional compact connected C0-submanifold with non-empty boundary in some smooth two- dimensional Riemannian manifold (X; g) without boundary. Let us consider the intrinsic metric (the infimum of the lengths of paths, connecting a pair of points".) of the interior Int Y1 of Y1, and extend it by continuity (operation lim ) to the boundary points of @Y1. In this paper the rigidity conditions are studied, i.e., when the constructed limiting metric defines @Y1 up to isometry of ambient space (X; g). We also consider the case dim Yj = dimX = n, n > 2

В процессе развития идей академика А. Д. Александрова первым автором был предложен следу- ющий подход к изучению проблем жесткости для краёв C0-подмногообразий в некотором глад- ком римановом многообразии. Пусть Y1 представляет собой двумерное компактное связное C0- подмногообразие с непустым краем в некотором гладком двумерном римановом многообразии (X; g) без края. Рассмотрим внутреннюю метрику (инфимум длин путей, соединяющих данную пару точек) внутренности Int Y1 многообразия Y1 и продолжим ее по непрерывности (операцией lim ) на краевые точки @Y1. В настоящей статье рассматривается вопрос о жесткости, т.е. когда указанная метрика определяет @Y1 с точностью до изометрии в объемлющем простран- стве (X; g). Рассматривается также случай dim Yj = dimX = n, n > 2