The Dirichlet Problem in the Class of shm-functions on a Stein Manifold X

Abstract

The purpose of this paper is to introduce and study strongly m-subharmonic (shm)functions on complex manifolds X ⊂ CN , dimX = n, n 6 N. There are different ways to define shm-functions on complex manifolds: using local coordinates, using retraction π : CN → X or using Jensen measures (see for example [1, 8, 13]). In this paper we use the local coordinates. In Section 1 we present the definition and simplest properties of shm-functions in Cn. In Section 2, we provide the definition of shm-functions in the domains D ⊂ X of the complex manifold X and prove several of their potential properties. Section 3 introduces maximal functions and their properties, while Section 4 presents the main result of the work (Theorem 4.1) concerning the solvability of the Dirichlet problem in regular domains

Целью данной работы является введение и изучение shm-функций на комплексных многообразиях X ⊂ CN , dimX = n, n 6 N. Имеются разные способы определения shm-функций на комплексных многообразиях: при помощи локальных координат, при помощи ретракции π : CN → X, при помощи мер Иенсена (см. [1, 8, 13]). Для определения shm-функций на комплексном многообразии X мы пользуемся локальными координатами. В секции 1 мы приводим определение и простейшие свойства shm-функций в пространстве Cn. В секции 2 дается определение shm-функций в областях D ⊂ X комплексного многообразия X и доказывается ряд их потенциальных свойств. В секции 3 определяются максимальные функции и их свойства и в секции 4 мы докажем основной результат работы (Теорема 4.1.) о разрешимости задачи Дирихле в регулярных областях