On Construction of Positive Closed Currents with Prescribed Lelong Numbers

Abstract

We establish that a sequence (Xk)k∈N of analytic subsets of a domain Ω in Cn, purely dimensioned, can be released as the family of upper-level sets for the Lelong numbers of some positive closed current. This holds whenever the sequence (Xk)k∈N satisfies, for any compact subset L of Ω, the growth condition Σ k∈N Ck mes(Xk ∩ L) < ∞. More precisely, we built a positive closed current Θ of bidimension (p, p) on Ω, such that the generic Lelong number mXk of Θ along each Xk satisfies mXk = Ck. In particular, we prove the existence of a plurisubharmonic function v on Ω such that, each Xk is contained in the upper-level set ECk (ddcv)

Мы устанавливаем, что последовательность (Xk)k∈N аналитических подмножеств области Ω в Cn, рассчитанная по размеру, может быть выпущена как семейство наборов верхнего уровня для чисел Лелонга некоторого положительного замкнутого тока. Это верно тогда, когда последовательность (Xk)k∈N удовлетворяет для любого компактного подмножества L в Ω, условие роста Σ k∈N Ck mes(Xk ∩ L) < ∞. Точнее, мы построили положительный замкнутый ток Θ двумерности (p, p) на Ω так, чтобы общее число Лелонга mXk из Θ вдоль каждого Xk удовлетворяло mXk = Ck. В частности, мы доказываем существование плюрисубгармонической функции v на Ω такой, что каждый Xk содержится во множестве верхнего уровня ECk (ddcv)