Optimal Formulas of Numerical Integration with Derivatives in Sobolev Space

Abstract

The problem of construction of optimal quadrature formulas in the sense of Sard in the space L(m) 2 (0; 1) is considered in the paper . The quadrature sum consists of values of the integrand at internal nodes and values of the first, third and fifth derivatives of the integrand at the end points of the integration interval. The coefficients of optimal quadrature formulas are found and the norm of the optimal error functional is calculated for arbitrary natural number N and for any m > 6 using Sobolev method. It is based on discrete analogue of the differential operator d2m=dx2m. In particular, for m = 6; 7 optimality of the classical Euler-Maclaurin quadrature formula is obtained. Starting from m = 8 new optimal quadrature formulas are obtained

В настоящей статье рассмотрена проблема построения оптимальных квадратурных формул в смысле Сарда в пространстве L(m) 2 (0; 1). Здесь квадратурная сумма состоит из значений подынтегральной функции в узловых точках и значений первой, третьей и пятой производных подынтегральной функции в концевых точках интервала инегрирования. Найдены коэффициенты оптимальных квадратурных формул и вычислена норма оптимального функционала погрешности для любого натурального N и для любого m > 6 с использованием метода Соболева, основанном на дискретном аналоге дифференциального оператора d2m=dx2m. В частности, для m = 6; 7 оптимальность классической квадратурной формулы Эйлера-Маклорена доказана. Начиная с m = 8 получены новые оптимальные квадратурные формулы