On a Second Order Linear Parabolic Equation with Variable Coefficients in a Non-Regular Domain of R³

Abstract

This paper is devoted to the study of the following variable-coefficient parabolic equation in non-divergence form @tu ����� Σ2 i=1ai(t;x 1; x2)@iiu +Σ2i=1bi(t; x1; x2)@iu + c(t; 1; x2)u = f(t; x1; x2); subject to Cauchy-Dirichlet boundary conditions. The problem is set in a non-regular domain of the form Q ={(t; x1) 2 R2 : 0 < t < T; φ1 (t) < x1 < φ2 (t)} ]0; b[ where φk; k = 1; 2 are "smooth" functions. One of the main issues of this work is that the domain can possibly be non-regular, for instance, the singular case where φ1 coincides with φ2 for t = 0 is allowed. The analysis is performed in the framework of anisotropic Sobolev spaces by using the domain decomposition method. This work is an extension of the constant-coefficients case studied in [15].

Настоящая работа посвящена изучению следующего параболического уравнения с переменными коэффициентом в недивергентной форме: @tu ���� Σ2 i=1 ai(t; x1; x2)@iiu + Σ2 i=1 bi(t; x1; x2)@iu + c(t; x1; x2)u = f(t; x1; x2); с учетом граничных условий Коши-Дирихле. Задача задана в нерегулярной области вида Q = {(t; x1) 2 R2 : 0 < t < T; φ1 (t) < x1 < φ2 (t) } ]0; b[ где φk; k = 1; 2 являются гладкими функциями. Одной из основных задач этой работы служит то, что область может быть нерегулярной, например, допускается особый случай, когда φ1 совпадает с φ2 при t = 0. Анализ проводится в рамках анизотропных пространств Соболева с использованием метода декомпозиции областей. Эта работа является обобщением случая постоянных коэффициентов, изучаемого в [15]