A Refinement of Kovalevskaya’s Theorem on Analytic Solvability of the Cauchy Problem

Abstract

In this paper we give a proof of an analog of the Kovalevskaya theorem about analytic solvability of the Cauchy problem for a linear differential equation with constant coefficients. A major role in the proof is played by the Borel transform and the Laurent expansion of the function P⁻¹, where P is the characteristic polynomial. This expansion produces an efficiently computable approximation of the solution of the Cauchy problem. The method of the proof allows to consider equations not necessarily resolved with respect to the highest derivative, however it imposes additional restrictions on the right hand side

В статье приводится доказательство аналога теоремы Ковалевской об аналитической разреши- мости задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициента- ми. В этом доказательстве важную роль играют преобразование Бореля и разложение Лорана функции P⁻¹, где P — характеристический многочлен. Такое разложение продуцирует рацио- нально вычислимую аппроксимацию решения задачи Коши. Этот метод доказательства позво- ляет рассматривать уравнения, не обязательно разрешенные относительно производной стар- шего порядка, однако накладывает ограничение на правую часть уравнения