On Solvability of Systems of Symbolic Polynomial Equations

Abstract

Approaches to solving the systems of non-commutative polynomial equations in the form of formal power series (FPS) based on the relation with the corresponding commutative equations are developed. Every FPS is mapped to its commutative image – power series, which is obtained under the assumption that all symbols of the alphabet denote commutative variables assigned as values in the field of complex numbers. It is proved that if the initial non-commutative system of polynomial equations is consistent, then the system of equations being its commutative image is consistent. The converse is not true in general. It is shown that in the case of a non-commutative ring the system of equations can have no solution, have a finite number of solutions, as well as having an infinite number of solutions, which is fundamentally different from the case of complex variables

Разрабатываются подходы к решению систем некоммутативных полиномиальных уравнений в виде формальных степенных рядов (ФСР), основанные на связи c соответствующими коммута- тивными уравнениями. Всякому ФСР поставлен в соответствие его коммутативный образ – степенной ряд, который получается в предположении, что все символы алфавита обозначают коммутативные переменные, принимающие значения из поля комплексных чисел. Доказано, что если исходная некоммутативная система полиномиальных уравнений совместна, то и систе- ма уравнений, являющаяся ее коммутативным образом, совместна. Oбратное, вообще говоря, неверно. Показано, что в случае некоммутативного кольца система уравнений может не иметь ре- шения, иметь конечное число решений, а также иметь бесконечно много решений, что принци- пиально отличается от случая комплексных переменных