Further Remarks on the Explicit Generating Function Expression of the Invariant Measure of Critical Galton-Watson Branching Systems
Author:
Imomov, Azam A.
Iskandarov, Sarvar B.
Имомов, Азам А.
Искандаров, Сарвар Б.
Date:
2024-04Journal Name:
Журнал сибирского федерального университета. 2024 17(2). Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. 2024 17(2)Abstract:
Consider the critical Galton-Watson branching system with infinite variance of the offspring
law. We provide an alternative arguments against what Slack [9] did when it seeked for a local expression
in the neighborhood of point 1 of the generating function for invariant measures of the branching system.
So, we obtain the global expression for all s ∈ [0, 1) of this generating function. A fundamentally
improved version of the differential analogue of the basic Lemma of the theory of critical branching
systems is established. This assertion plays a key role in the formulation of the local limit theorem with
explicit terms in the asymptotic expansion of local probabilities. We also determine the decay rate of
the remainder term in this expansion Рассмотрим критическую ветвящуюся систему Гальтона-Ватсона с бесконечной дис-
персией закона превращения одной частицы. Предлагаем аргументы, альтернативные аргументам
Слейка [9], который нашел локальное выражение в окрестности точки 1 производящей функции
для инвариантных мер ветвящейся системы. Мы получаем глобальное выражение для всех s ∈ [0, 1)
этой производящей функции. Устанавливаем улучшенный вариант дифференциального аналога основной леммы теории критических ветвящихся систем. Это утверждение играет ключевую роль
в формулировке локальной предельной теоремы с явными членами в асимптотическом разложении локальных вероятностей. Мы также определяем скорость убывания остаточного члена в этом
разложении