Idempotent Values of Commutators Involving Generalized Derivations
View/ Open:
URI (for links/citations):
https://elib.sfu-kras.ru/handle/2311/145510Author:
Gurninder S. Sandhu
Shakir Ali
Гурниндер С. Сандху
Шакир Али
Date:
2022Journal Name:
Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика, 2022. Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics, 2022, 15 (3)Abstract:
n the present article, we characterize generalized derivations and left multipliers of prime
rings involving commutators with idempotent values. Precisely, we prove that if a prime ring of charac-
teristic different from 2 admits a generalized derivation G with an associative nonzero derivation g of R
such that [G(u); u]n = [G(u); u] for all u 2 f[x; y] : x; y 2 Lg; where L a noncentral Lie ideal of R and
n > 1 is a fixed integer, then one of the following holds:
(i) R satisfies s4 and there exists 2 C; the extended centroid of R such that G(x) = ax + xa + x
for all x 2 R; where a 2 U; the Utumi quotient ring of R;
(ii) there exists
2 C such that G(x) =
x for all x 2 R:
As an application, we describe the structure of left multipliers of prime rings satisfying the condition
([Tm(u); u])n = [Tm(u); u] for all u 2 f[x; y] : x; y 2 Lg; where m; n > 1 are fixed integers. In the end,
we give an example showing that the hypothesis of our main theorem is not redundant В настоящей статье мы характеризуем обобщенные дифференцирования и левые
мультипликаторы первичных колец, включающие коммутаторы с идемпотентными значениями.
А именно, мы доказываем, что если первичное кольцо характеристики, отличной от 2, допускает
обобщенное дифференцирование G с ассоциативным ненулевым дифференцированием g кольца R
такое, что [G(u); u]n = [G(u); u] для всех u 2 f[x; y] : x; y 2 Lg; где L — нецентральный идеал Ли R,
а n > 1 — фиксированное целое число, то выполняется одно из следующих утверждений:
(i) R удовлетворяет s4 и существует 2C, расширенный центр тяжести R, такой, что
G(x) = ax + xa + x для всех x 2 R, где a 2 U, фактор-кольцо Утуми кольца R,
(ii) существует 2 C, такое, что G(x) =
x для всех x 2 R.
В качестве приложения опишем строение левых мультипликаторов первичных колец, удовлетворяющих условию ([Tm(u); u])n = [Tm(u); u] for all u 2 f[x; y] : x; y 2 Lg; где m; n > 1 — фиксированные
целые числа. В заключение приведем пример, показывающий, что условие нашей основной теоремы
не является избыточным