Energy Method for the Elliptic Boundary Value Problems with Asymmetric Operators in a Spherical Layer

Abstract

Three-dimensional elliptic boundary value problems arising in the mathematical modeling of quasi-stationary electric fields and currents in conductors with gyrotropic conductivity tensor in domains homeomorphic to the spherical layer are considered. The same problems are mathematical models of thermal conductivity or diffusion in moving or gyrotropic media. The operators of the problems in the traditional formulation are non-symmetric. New statements of the problems with symmetric positive definite operators are proposed. For the four boundary value problems the quadratic energy functionals, to the minimization of which the solutions of these problems are reduced, are constructed. Estimates of the obtained quadratic forms are made in comparison with the form appearing in the Dirichlet principle for the Poisson equation

Рассмотрены трехмерные эллиптические краевые задачи, возникающие при математическом моделировании квазистационарных электрических полей и токов в проводниках с гиротропным тензором проводимости в областях, гомеоморфных шаровому слою. Аналогичные задачи формулируются при моделировании теплопроводности или диффузии в движущихся или гиротропных средах. Операторы задач в традиционной формулировке является несимметричными. Предложены новые формулировки задач с симметричными положительно определенными операторами. Для четырех краевых задач построены квадратичные функционалы энергии, к минимизации которых сведено решение этих задач. Выполнены оценки полученных квадратичных форм в сравнении с формой, фигурирующей в принципе Дирихле для уравнения Пуассона