Chaotic Dynamics of a Three-dimensional Endomorphism

Abstract

The present work describes the phases plane bifurcations of some attractors given by a noninvertible three-dimensional map. This study is conducted through the critical manifolds concepts, generalization of critical points and critical lines introduced by Gumowski and Mira [1, 2]. The phase plane shared within two open regions: the first (denoted Z0) each point having no real preimage, and the second (denoted Z2) each point having two real preimages. The regions Z0, Z2 are separated by the critical manifolds, locus of points having two coincident preimages. This requires the visualization of critical manifolds in the three dimensional phases space. And this work also describes the passage of invariant or attractor curves towards weakly chaotic attractors then towards hyper-chaotic attractors via the contact bifurcation through the critical manifolds, which disappear after the contact bifurcation with the its attraction basin boundary

В настоящей работе описываются бифуркации фазовых плоскостей некоторых аттракторов, задаваемых необратимым трехмерным отображением. Это исследование проводится с помощью концепций критических многообразий, обобщения критических точек и критических линий, введенных Гумовским и Мирой [1, 2]. Фазовая плоскость делится в двух открытых областях: первая (обозначается Z0) каждая точка, не имеющая реального прообраза, а вторая (обозначенная Z2) каждая точка имеет два реальных прообраза. Области Z0, Z2 разделены критическими многообразиями, локус точек, имеющих два совпадающих прообраза. Для этого требуется визуализация критических многообразий в пространстве трехмерных фаз. Работа также описывает прохождение инвариантных или аттракторных кривых в сторону слабохаотических аттракторов, а затем к гиперхаотическим аттракторам через контактную бифуркацию, через критические многообразия, которые исчезают после контактной бифуркации с ее границей притяжения